Nicolai Eghorst begann im Alter von 10 Jahren Klarinette zu spielen. Er begann seine musikalische Ausbildung von 1995 bis 2001 im Tivoli-Garden, zunächst auf der Marschtrommel und dann auf der Klarinette, wo er Tore Othmar Poulsen und Per Majland als Lehrer hatte. Seine Zeit am Tivoli-Garten beendete er als Dirigent.

Im Jahr 2001 wurde Nicolai mit der Goldmedaille im Wettbewerb für klassische Musik von Berlingske Tidende ausgezeichnet und im selben Jahr wurde er in das MGK des Sankt Annæ Gymnasiums aufgenommen, wo er zwei Jahre lang bei Tore Othmar Poulsen studierte und 2003 dann sein Studium begann Königlich Dänisches Musikkonservatorium bei Jørgen „Misser“ Jensen.

Im März 2006 gewann er den 1. Preis beim Solistenwettbewerb „Öresund-Solist“, wo er anschließend an zahlreichen Konzerten in Dänemark und Schweden beteiligt war, z.B. mit dem Ensemble Diamant. Im Juli 2006 nahm er am Kopenhagener Sommerfestival teil und erhielt im September 2006 das große Stipendium von Jacob Gade in Höhe von 100.000 DKK. Im akademischen Jahr 2006-2007 studierte er an der Hochschule für Musik und Theater in Zürich bei Prof. Fabio di Càsola. Im April 2008 gewann Nicolai die Position des 2. Soloklarinettisten im Symphonieorchester von Sønderjylland und im darauffolgenden Monat legte er seine Diplomprüfung am DKDM mit der Bestnote ab.

Nicolai war Solist mit verschiedenen Orchestern, u.a. DR Radio Symphony Orchestra im Oktober 2006, und er hat Unterricht und Meisterkurse bei den folgenden internationalen Klarinettisten genommen: Martin Frøst, Michell Arrignon, John Kruse, Hans Christian Bræin, Lee Morgan, Phillip Berrod, Søren Elbo, Ron Chen-Zion, Felix -Andreas Genner und Elmar Schmidt.